몇 회면 겹칠까
교실에 23명만 모여도 같은 생일이 둘 있을 확률이 절반을 넘습니다. 이 생일 패러독스를 로또판으로 옮겨 봐요. 회차가 m번 쌓이면 두 회차가 겹칠 확률은 얼마나 솟아오를까요? 그리고 역대 기록에서 그 겹침이 처음 나타난 회차는 어디였을까요? 작은 표본에도 우연한 일치가 의외로 흔하다는 사실을 곡선으로 들여다보는 과거 기록 이야기입니다.
가로축은 쌓인 회차 수 m, 세로축은 그 안에서 정의한 겹침이 적어도 한 번 나타날 확률이에요. 한 짝(두 회차)이 겹칠 확률은 6수에서 조합으로 정확히 계산할 수 있고(아래 N 옆 수치), 회차가 m개면 견줄 짝이 m×(m−1)÷2개로 늘어납니다. 짝이 빠르게 불어나기 때문에, 곡선은 생일 패러독스처럼 생각보다 이른 지점에서 가파르게 솟아올라요. 곡선 위의 점은 역대 기록에서 그 겹침이 처음 관측된 회차입니다. 점선은 50% 선이고, 슬라이더를 옮기면 그 m에서의 확률 수치가 왼쪽에 나타나요. 모두 지나간 회차를 설명하는 확률 교실이며, 다음에 무엇이 나올지를 말하지는 않습니다.
직관은 "한 회차"를 기준으로 세지만, 겹침은 두 회차의 짝에서 생깁니다. 회차가 10개면 짝은 45개, 50개면 1,225개, 200개면 19,900개 — 짝의 수는 회차 수의 제곱 가까이 불어나요. 그래서 한 짝이 겹칠 확률이 작아도, 짝이 충분히 많아지면 그중 적어도 하나는 겹칠 확률이 빠르게 1에 가까워집니다. 교실의 생일도, 로또 회차의 번호 겹침도 같은 셈법이에요. 흔한 우연을 신비롭게 부풀릴 필요도, 시시하게 깎아내릴 필요도 없는, 그저 깔끔한 수학적 사실입니다.
같은 6수가 두 번 나왔는지 정면으로 보려면 → 트윈셋 · 무작위 기대 분포와 견주려면 → 분포 실험실 · 동반 쌍의 지도는 → 동반 코드