매끄러워지는 비율 — 라이브 대수의 법칙
시행이 하나둘 쌓일수록, 어떤 비율의 누적 평균이 기대값 부근으로 점점 매끄러워집니다. 출발은 표본이 적어 크게 출렁이다가, 회차가 많아질수록 출렁임의 폭이 1/√n으로 좁아져 기대선(점선) 언저리로 모입니다. 많은 시행의 평균이 기대값 근처로 모이는 결을 그릴 뿐이며, 각 회차의 추첨은 그대로 한 번의 과거 기록이에요.
가로축은 누적 시행 수 n(왼→오), 세로축은 그때까지의 누적 비율. 굵은 곡선이 누적 평균, 가운데 점선이 기대선이에요. 점선을 감싼 옅은 띠는 무작위로 같은 횟수를 뽑았을 때 누적 평균이 흔들리는 폭(약 ±1/√n 규모)으로, n이 커질수록 좁아집니다 — 곡선이 그 안으로 잦아드는 무작위 기대 동행선입니다.
현재 시행 수 n
—
누적된 과거 회차
현재 누적 비율
—
기대선 —
기대선과의 거리
—
현재 흔들림 폭 ±—
읽는 법
곡선의 한 점은 그 시행까지 누적된 비율이에요. 왼쪽 끝(n이 작을 때)은 한 번의 결과가 비율을 크게 흔들어 골이 깊지만, 오른쪽으로 갈수록 한 번의 무게가 작아져 곡선이 점선 언저리에서 매끄럽게 잦아듭니다. 이건 많은 시행의 평균이 기대값 근처로 모이는 모습을 그린 것이고, 곡선은 지금까지 쌓인 평균의 결을 보여 줍니다 — 화면 끝은 가장 최근까지의 과거 기록이에요.
역대 누적 재생은 실제 추첨 기록을 1회부터 순서대로 더해 가고, 무작위 시뮬레이션은 같은 규칙(1~45에서 6개)을 재현 가능한 난수(mulberry32)로 돌려 봅니다. 두 모드의 곡선이 비슷하게 기대선으로 매끄러워지는 모습을 나란히 견줘 보는 호기심이에요.